Question

已知函数，，其中．   
（1）设函数，若在区间是单调函数，求的取值范围；
（2）设函数，是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）因   ……1分
， ∵在区间上单调    
恒成立  ……2分
  恒成立
设
令有，记 
由函数的图像可知，在上单调递减，在上单调递增，……4分
∴，于是  ……5分
∴                    ……6分
（2）当时有；  ……7分
当时有，因为当时不合题意，因此，……8分
下面讨论的情形，
记 求得  A，B=
（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有  ……9分
（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此   ……11分
综合（ⅰ）（ⅱ）      ……12分
当时A=B，则，即使得成立，
因为在上单调递增，所以的值是唯一的；…13分
同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，
所以满足题意.  …14分

本试题主要是考查导数在研究函数中的运用。
（1）根据函数在给定区间单调递增，则可以利用导函数恒大于等于零，分离参数的思想求解参数的范围，
（2）分别分析函数f(x)和g(x)的性质得到单调性，进而确定是否存在点满足已知条件来求解得到。