Question

2．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x-2}$，如果数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=f（a_n），求证：当n≥2时，恒有a_n＜3成立．

Answer 1

分析 利用反证法，结合数列的递推关系进行证明即可．

解答 证明　（用反证法）　假设a_n≥3，（n≥2），
则由已知得a_n+1=f（_n）=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}-2}$，
∴当n≥2时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}-2}$=$\frac{1}{2}$•（1+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$）≤$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$＜1，（∵a_n-1≥3-1），
又易证a_n＞0，∴当n≥2时，a_n+1＜a_n，
∴当n＞2时，a_n+1＜a_n＜…＜a₂；
 而当n=2时，a₂=$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2{a}_{1}-2}$=$\frac{16}{8-2}$=$\frac{8}{3}$＜3，
∴当n≥2时，a_n＜3；
这与假设矛盾，故假设不成立，
∴当n≥2时，恒有a_n＜3成立．

点评 本题主要考查与数列有关的恒成立问题，利用反证法，结合数列的递推关系是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．