Question

已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对任意a，b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a），且f（2）=2，记a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：
（3）若数列{b_n}满足，求证：（注：ln2≈0.6931）

Answer 1

（1）解：令a=2ⁿ，b=2，得f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ）
∵a_n=f（2ⁿ）
∴a_n+1=2ⁿ•2+2a_n，
∴，且
即数列是以1为，1为首项的等差数列
∴，
∴a_n=n•2ⁿ
（2）证明：当n≥4时，
∴=
（3）证明：∵数列{b_n}满足，
∴b_n=n²，
要证：
即证：
即证：
即证：
即证：
即证：
即证：
即证：
即证：
即证：
即证：（n≥2）
即证：（lnn）²＜n（n≥2）
即证：f（n）=（lnn）²-n（n≥2）

令g（n）=2lnn-n 可得
所以g（n）单调递减，所以g（n）≤g（2）=2ln2-2＜0
所以f′（n）＜0，所以f（n）单调递减
所以f（n）≤f（2）=（ln2）²-2＜0
故得证．
分析：（1）令a=2ⁿ，b=2，得f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ），根据a_n=f（2ⁿ），可得a_n+1=2ⁿ•2+2a_n，从而可知数列是以1为，1为首项的等差数列，故可求数列{a_n}的通项公式；
（2）当n≥4时，，利用放缩法可证；
（3）根据数列{b_n}满足，b_n=n²，利用分析法转化为证明（lnn）²＜n（n≥2），构造函数f（n）=（lnn）²-n（n≥2），可证f（n）单调递减，从而得证．
点评：本题以函数为载体，考查构造法证明等差数列，考查放缩法、分析法证明不等式，综合性强，难度较大．