Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱面SA⊥面ABCD，AB垂直于AD和BC，CA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点
（1）求证：AM∥面SCD；
（2）求证MD⊥SB；
（3）求三棱锥S-AMD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：常规题型,空间位置关系与距离

分析：（1）取SC的中点为E，连结ME，ED，证明ADEM为平行四边形，从而证明AM∥平面SCD；（2）连结MD，证明SB⊥平面AMD；（3）利用面积相等转化，求出体积．

解答： 解：（1）

如图，取SC的中点为E，连结ME，ED
在△SBC中，M、E分别是SB、SC的中点 
∴ME∥BC，且ME=

1

2

BC
又BC=2，AD=1，且AD∥BC
∴ME∥AD，且ME=AD
∴ADEM为平行四边形
故AM∥ED．
又ED?平面SCD，AM?平面SCD
∴AM∥平面SCD．
（2）连结MD，由题意：SA⊥平面ABCD
∴SA⊥AD
又AD⊥AB
∴AD⊥平面SAB
又SB?平面SAB
∴AD⊥SB
在△ASB中，SA⊥AB，SA=AB=2，M为SB的中点
∴AM⊥SB
则SB⊥平面AMD
又MD?平面AMD
∴SB⊥MD
（3）由（2）知，AD⊥平面SAB，且AD=1
∴D到平面SAB的距离为1
又在Rt△SAB中，M为SB的中点
S△SMA=S△MBA=

1

2

×(

1

2

×2×2)=1
∴VS-AMD=VD-SMA=

1

3

S△SMA•AD
=

1

3

×1×1=

1

3

．

点评：本题全面考查了空间中的平行与垂直，同时涉及了转化的思想，综合性较大，属于中档题．