Question

16．如果方程x²+2mx+k=0的两实数根在方程x²+2mx+m-4=0的两实数根之间，试问m，k应满足怎样的关系？

Answer 1

分析 设方程x²+2mx+k=0的两实数根为α、β，方程x²+2mx+m-4=0的两实数根为e、f，则α+β=e+f=-2m，α•β=k，e•f=m-4． 再根据题意可得△=4m²-4k≥0，且α²+2mα+m-4＜0，且β²+2mβ+m-4＜0，化简可得m，k应满足的关系．

解答 解：设方程x²+2mx+k=0的两实数根为α、β，方程x²+2mx+m-4=0的两实数根为e、f，
则α+β=e+f=-2m，α•β=k，e•f=m-4．
若方程x²+2mx+k=0的两实数根α、β 在方程x²+2mx+m-4=0的两实数根e、f之间，
则有△=4m²-4k≥0，且α²+2mα+m-4＜0，且β²+2mβ+m-4＜0，
即k＜m² ①，且α²+β²+2m（α+β）+2（m-4）＜0 ②．
由②可得（α+β）²-2α•β+2m（α+β）+2（m-4）＜0，即 4m²-2k+2m（-2m）+2（m-4）＜0，
求得k＞m-4．
综上可得，m，k应满足m-4＜k＜m²．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．