Question

19．设x₁，x₂∈R，函数f（x）满足e^x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，若f（x₁）+f（x₂）=1，则f（x₁+x₂）最小值是$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由条件求得f（x）的解析式，再由f（x₁）+f（x₂）=1，可得${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{2}}$+3，运用基本不等式可得${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$≥9，再由函数的单调性，即可得到最小值．

解答 解：由e^x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，可得
f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，
由f（x₁）+f（x₂）=1，可得$\frac{1}{1+{e}^{{x}_{1}}}$+$\frac{1}{1+{e}^{{x}_{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
即为${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{2}}$+3，由${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{2}}$≥2$\sqrt{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
即有${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$≥2$\sqrt{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$+3，
解得$\sqrt{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$≥3，
即为${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$≥9，当且仅当x₁=x₂，取得等号，
则f（x₁+x₂）=1-$\frac{2}{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+1}$≥1-$\frac{2}{9+1}$=$\frac{4}{5}$．
即有最小值为$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查指数函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．