Question

【题目】在平面直角坐标系中，点在椭圆 上，过点的直线的方程为．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；

（Ⅲ）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）求得椭圆C的a，b，c，运用离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）在直线l中，分别令x＝0，y＝0，求得A，B的坐标，求得三角形OAB的面积，由P代入椭圆方程，运用基本不等式即可得到所求最小值；（Ⅲ）讨论①当x0＝0时，P（0，±1），②当x0≠0时，设点Q（m，n），运用对称，分别求得Q的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，即可得证．

（Ⅰ）依题意可知，，所以椭圆离心率为．

（Ⅱ）因为直线与轴，轴分别相交于两点，所以．

令，由得，则．

令，由得，则．

所以的面积．

因为点在椭圆 上，所以．

所以．即，则．

所以．

当且仅当，即时，面积的最小值为．

（Ⅲ）①当时，．当直线时，易得，此时，．

因为，所以三点共线．同理，当直线时，三点共线．

②当时，设点，因为点与点关于直线对称，

所以整理得

解得所以点．

又因为，，且

．

所以 ．所以点三点共线．

综上所述，点三点共线．