Question

【题目】已知函数，是常数且.

（1）若曲线在处的切线经过点，求的值；

（2）若（是自然对数的底数），试证明：①函数有两个零点，②函数的两个零点满足.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，根据切线的斜率求出a的值即可；（2）对函数f(x)求导，根据函数单调性得到函数的最大值且最大值大于0，可知函数有两个零点，根据零点存在性定理可知两个零点，因为，即，所以问题转化为只要证明x1＞ -x2即可．

（1）切线的斜率

，

解，得

（2）①解，得

当时，；当时，，

所以在处取得最大值

，因为，所以，在区间有零点，

因为在区间单调递增，所以在区间有唯一零点.

由幂函数与对数函数单调性比较及的单调性知，在区间有唯一零点，从而函数有两个零点.

②不妨设，作函数，，

则，

所以，即，

又，所以

因为，所以，因为在区间单调递减，

所以，

又，，所以