Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）若的图像与直线相切，求

（Ⅱ）若且函数的零点为,

设函数试讨论函数的零点个数.（为自然常数）

Answer 1

【答案】（1）（2）有两个不同的零点

【解析】分析：（Ⅰ）设切点坐标为，故可以关于的方程组，从该方程组解得．

（Ⅱ）因，故为减函数，结合可得的零点．又是分段函数，故分别讨论在上的单调性，结合利用零点存在定理得到有两个不同的零点．

详解：（Ⅰ）设切点，所以，故，从而

又切点在函数上，所以即，故，

解得， ．

（Ⅱ）若且函数的零点为，

因为，，为上的减函数，

故．

当时，，

因为，

当时，；

当时，，

则在上单调递增，上单调递减，则,

所以在上单调递减．

当时，，

所以在区间上单调递增．

又，且；

又，

所以函数在区间上存在一个零点， 在区间上存在一个零点．

综上，有两个不同的零点．