Question

如图，曲线C由上半椭圆C₁：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C₂：y＝－x²＋1(y≤0)连接而成，C₁与C₂的公共点为A，B，其中C₁的离心率为.

(1)求a，b的值；

(2)过点B的直线l与C₁，C₂分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．

 

Answer 1

解　(1)在C₁，C₂的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1,0)，B(1,0)是上半椭圆C₁的左右顶点．

设C₁的半焦距为c，由＝及a²－c²＝b²＝1得a＝2.∴a＝2，b＝1.

(2)由(1)知，上半椭圆C₁的方程为＋x²＝1(y≥0)．

易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，

代入C₁的方程，整理得(k²＋4)x²－2k²x＋k²－4＝0.(*)

设点P的坐标为(x_P，y_P)，

∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根，

∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.

经检验，k＝－符合题意，

故直线l的方程为y＝－(x－1)，

即8x＋3y－8＝0.