Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AD的中点，
（1）在所有的12条棱中，与A₁E异面的棱有多少条，并一一列出；
（2）求A₁E与CD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）异面直线是指不同在任何一个平面上，没有公共点的两条直线，用定义判断即可．
（2）求异面直线所成角，只需把两条异面直线中的一条平移，使它们成为相交直线，相交直线所成角，就是异面直线所成角．因为A₁B∥D₁C，所以∠EA₁B为A₁E与CD₁的所成角，再放入三角形中，解三角形即可．

解答：解：（1）7条，B₁C₁，C₁D₁，BB₁，CC₁，AB，BC，CD；
（2）∵A₁B∥D₁C，∴∠EA₁B为A₁E与CD₁的所成角，
设棱长为1，在△EA₁B中，A1E=BE=

5

2

，A1B=

2

，
∴cos∠EA1B=

5 4 +2- 5 4

2• 5 2 • 2

点评：本题考查了异面直线的概念，以及异面直线所成角，属于基础题，必须掌握．