Question

如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F分别是线段AB．BC的中点．

（Ⅰ）证明：PF⊥FD；

（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值；

（Ⅲ）在棱PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD？若存在，请找出点G的位置并加以说明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．

专题：

空间位置关系与距离；空间角．

分析：

（I）连接AF，证明DF⊥平面PAF，即可证明PF⊥FD；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系．因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，确定平面PFD的法向量、平面PFD的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角A﹣PD﹣F的余弦值；

（Ⅲ）解法1：利用向量法，求出平面PFD的法向量，利用，可得结论；

解法2：几何法，利用面面平行，可得结论．

解答：

（Ⅰ）证明：连接AF，则，

又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，∴DF⊥AF．

又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，

∴DF⊥平面PAF

∵PF⊂平面PAF，

∴DF⊥PF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）

（Ⅱ）解：因为四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则如图建立空间直角坐标系．

因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，所以PA=AB=1，

以A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．

所以，

设平面PFD的法向量为，

由得，

令x=1，解得：y=1，z=2，所以．

又因为AB⊥平面PAD，所以是平面PAD的法向量，易得，

所以．

由图知，所求二面角A﹣PD﹣F的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

（Ⅲ）解法1：在棱PA上存在点G，使得EG∥平面PFD．

设点P（0，0，a），G（0，0，b），则，

因为，则．

设平面PFD的法向量为，

由得，

令x=1，解得：，所以．

令得，即，

所以．

从而满足的点G为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）

解法2：过点E作EH∥FD交AD于点H，则．

再过点H作HG∥DP交PA于点G，则，

∴平面EHG∥平面PFD，∴EG∥PFD．

从而满足的点G为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）

点评：

本题考查线面垂直，考查面面角，考查线面平行，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．