Question

20．求函数f（x）=sin$\frac{x}{2}$+cosx（x∈[0，2π]）的值域．

Answer 1

分析 利用cosx=1-2sin²$\frac{x}{2}$化简f（x），根据函数的图象与性质，求出f（x）的值域即可．

解答 解：∵函数f（x）=sin$\frac{x}{2}$+cosx
=sin$\frac{x}{2}$+（1-2sin²$\frac{x}{2}$）
=-2sin²$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$+1
=-2${（sin\frac{x}{2}-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{8}$，
当x∈[0，2π]时，$\frac{x}{2}$∈[0，π]，
∴sin$\frac{x}{2}$∈[0，1]，
sin$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{4}$∈[-$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]，
∴${（sin\frac{x}{2}-\frac{1}{4}）}^{2}$∈[0，$\frac{9}{16}$]，
∴-2sin${（sin\frac{x}{2}-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{8}$∈[0，$\frac{9}{8}$]；
即f（x）的值域为[0，$\frac{9}{8}$]．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了二倍角公式以及二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．