Question

15．已知：一元二次方程y=x²-（tanθ+cotθ）•x+1=0（其中：θ为三角形的一内角）的一个根为x₁=2+$\sqrt{3}$．试求：
（1）方程的另一个根；
（2）tanθ+cotθ的值；
（3）sin2θ的值．

Answer 1

分析 设此方程的另一个根为m，则（2+$\sqrt{3}$）m=1，解得m=2-$\sqrt{3}$．利用根与系数的关系可得tanθ+cotθ=4，利用同角三角函数基本关系式及倍角公式即可得出sin2θ的值．

解答 解：（1）设此方程的另一个根为m，则（2+$\sqrt{3}$）m=1，解得m=2-$\sqrt{3}$．
（2）∵（2+$\sqrt{3}$）+（2-$\sqrt{3}$）=4=tanθ+cotθ，
∴tanθ+cotθ=4，
（3）由（2）可得：$\frac{sinθ}{cosθ}+\frac{cosθ}{sinθ}$=4，
∴解得：sinθcosθ=$\frac{1}{4}$．
∴sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．