Question

5．求证：?m∈R，使得数列{n^m}是等差数列，并求出所有m的值．

Answer 1

分析 根据等差数列的定义与通项公式，利用公差相等，求出m的值即可．

解答 证明：设数列{a_n}，其通项为a_n=n^m，其中m∈R；
由{a_n}为等差数列，设其公差为d，则有
d=a₂-a₁=2^m-1…①
d=a₃-a₂=3^m-2^m…②
d=a₄-a₃=4^m-3^m…③
设2^m=x，3^m=y，则
由①②得x-1=y-x…④
由②③得y-x=x²-y…⑤
解④⑤得x=1或x=2，
即m=0或m=1
验证，当m=1时，a_n=n，是等差数列；
当m=0时，a_n=1，也是等差数列；
所以m=0或m=1时，{a_n}为等差数列．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与性质的应用问题，也考查了解方程组的应用问题，是综合性题目．