Question

已知函数.
（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；
（2）当时，若，求的值；
（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）既不是奇函数，也不是偶函数；（2）所以或；（3）当时，的取值范围是，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．

试题分析：（1）时，为确定的函数，要证明它具有奇偶性，必须按照定义证明，若要说明它没有奇偶性，可举一特例，说明某一对值与不相等（不是偶函数）也不相反（不是奇函数）．（2）当时，为，这是含有绝对值符号的方程，要解这个方程一般是分类讨论绝对值符号里的式子的正负，以根据绝对值定义去掉绝对值符号，变成通常的方程来解．（3）不等式恒成立时要求参数的取值范围，一般要把问题进行转化，例如分离参数法，或者转化为函数的最值问题．即为，可以先把绝对值式子解出来，这时注意首先把分出来，然后讨论时，不等式化为，于是有，即，这个不等式恒成立，说明，这时我们的问题就转化为求函数的最大值，求函数的最小值．
试题解析：（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数（2分）

所以既不是奇函数，也不是偶函数  （4分）
（2）当时，，
由得 （1分）
即 （3分）
解得  （5分）
所以或   （6分）
（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，
故只需考虑，此时原不等式变为 （1分）
即
故      
又函数在上单调递增，所以；（2分）
对于函数
①当时，在上单调递减，，又，
所以，此时的取值范围是（3分）
②当，在上，，
当时，，此时要使存在，
必须有，此时的取值范围是（4分）
综上，当时，的取值范围是
当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是   （6分）