Question

已知函数f（x）=ax²+2ln（1-x），其中a∈R．
（1）是否存在实数a，使得f（x）在x=

1

2

处取极值？试证明你的结论；
（2）若f（x）在[-1，

1

2

]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）假设存在实数a，使得f（x）在x=

1

2

处取极值．求出导数，有f′（

1

2

）=0，求出a，检验是否为极值；
（2）f（x）在[-1，

1

2

]上是减函数f′(x)=2ax-

2

1-x

≤0在[-1，

1

2

]上恒成立，即ax²-ax+1≥0在[-1，

1

2

]上恒成立．令g（x）=ax²-ax+1，讨论a=0，a＞0，a＜0三种，运用二次函数的单调性，即可解决．

解答： 解：（1）假设存在实数a，使得f（x）在x=

1

2

处取极值．
∵函数f（x）=ax²+2ln（1-x），
∴f′（x）=2ax+

2

x-1

，f′（

1

2

）=a-4=0，a=4，
检验：f′（x）=

8x2-8x+2

x-1

=

2(2x-1)2

x-1

≤0，
即f（x）在（-∞，1）上单调递减，
故

1

2

不为极值点．
故不存在实数a，使得f（x）在x=

1

2

处取极值．
（2）f（x）在[-1，

1

2

]上是减函数等价为
f′(x)=2ax-

2

1-x

≤0在[-1，

1

2

]上恒成立，
即ax²-ax+1≥0在[-1，

1

2

]上恒成立．
令g（x）=ax²-ax+1，
a=0，1＞0显然成立；
a＞0时，区间[-1，

1

2

]为减区间，只要g（

1

2

）≥0，即

1

4

a-

1

2

a+1≥0，解得a≤4，∴0＜a≤4；
当a＜0时，区间[-1，

1

2

]为增区间，只要g（-1）≥0，解得a≥-

1

2

，∴-

1

2

≤a＜0．
综上，实数a的取值范围是[-

1

2

，4]．

点评：本题考查导数的综合应用：判断函数的单调性和求极值，考查不等式的恒成立问题，主要是二次不等式在闭区间上的恒成立问题，注意转化为二次函数来解决，是一道中档题．