Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，证明：$\frac{2}{3}$x³＞$\frac{1}{2}$x²+lnx．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（2）设g（x）=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx（x＞1），求出g（x）的导数，根据函数的单调性得到g（x）＞g（1），证出结论即可．

解答 解　（1）f（x）的定义域为（0，+∞），由题意得f′（x）=x-$\frac{a}{x}$（x＞0），
∴当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
当a＞0时，f′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{x2-a}{x}$=$\frac{?x-\sqrt{a}??x+\sqrt{a}?}{x}$．
∴当0＜x＜$\sqrt{a}$时，f′（x）＜0，当x＞$\sqrt{a}$时，f′（x）＞0．
∴当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（$\sqrt{a}$，+∞），单调递减区间为（0，$\sqrt{a}$）．
（2）设g（x）=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx（x＞1），
则g′（x）=2x²-x-$\frac{1}{x}$．
∵当x＞1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴g（x）＞g（1）=$\frac{1}{6}$＞0．
即$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx＞0，
故当x＞1时，$\frac{2}{3}$x³＞$\frac{1}{2}$x²+lnx成立．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．