Question

（本小题满分14分）已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形, AC∩BD=O, AA1=2, BD⊥A1A, ∠BAD=∠A1AC=60°, 点M是棱AA1的中点.

（1）求证: A1C∥平面BMD;

（2）求证: A1O⊥平面ABCD;

（3）求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值.

 

Answer 1

（1）（2）证明详见试题分析（3）

【解析】

试题分析：（1）连结MO，由已知条件推导出MO//A1C,由此能证明

（2）由已知条件推导出BD⊥面A1AC，，由此能证明

（3）通过作辅助线确定直线与平面所成的角，然后求出其正弦值

试题解析：（1）证明：连结，∵，∴MO∥，

∵MO平面BMD，平面BMD

∴A1C∥平面BMD.

（2）证明：∵，，∴BD⊥平面

于是，，

∵AB=CD=2,∠BAD=60°，∴AO=AC=，

又∵，∴，

又∵，∴⊥平面ABCD.

（3）【解析】
如图，以O为原点，以OA为轴，OB为轴，为轴建立空间直角坐标系，由题意知，，，，∵，∴

∵，∴，，，

设平面的法向量为，

则，取，得

∴

∴直线BM与平面所成角的正弦值为.

考点：立体几何的证明与求解