Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω＜2，|φ|＜

π

2

）的一系列对应值如下表：

x	…	- π 6	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3	17π 6	…
y	…	-2	0	2	0	-2	0	2	…

（Ⅰ）根据表格提供的数据求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（kx）（k＜0）的最小正周期为

2π

3

，且当x∈[0，

4π

9

）时，方程f（kx）=m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围，并求这两个实数解的和．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由图表求得A，T，从而求得ω，代入某一点的坐标求得φ，则函数解析式可求；
（Ⅱ）由函数f（kx）（k＜0）的最小正周期为

2π

3

求得k的值，结合x∈[0，

4π

9

）求得m的范围，再由对称性求得两个实数解的和．

解答： 解：（Ⅰ）由图表得，A=2，T=

11π

6

-(-

π

6

)=2π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（x+φ），
由|φ|＜

π

2

，且f（

π

3

）=0，得2sin（

π

3

+φ）=0，
∴φ=-

π

3

．
∴f（x）=2sin（x-

π

3

）；
（Ⅱ）f（kx）=2sin（kx-

π

3

），
由函数f（kx）（k＜0）的最小正周期为

2π

3

，得

2π

|k|

=

2π

3

，
∴k=-3，
∴f（kx）=2sin（-3x-

π

3

），
∵x∈[0，

4π

9

），
∴-3x-

π

3

∈(-

5π

3

，-

π

3

]，
∴方程f（kx）=m恰有两个不同的实数解的实数m的取值范围是(-1，-

3

2

]∪(

3

2

，1)．
由对称性可知，两个实数解得和为：

π

6

或

7π

6

．

点评：本题考查了Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了与三角函数有关的函数零点的判定方法，属中档题．