Question

求证：函数f(x)=-x²+mx+m(m≥2)在(-∞,1］上是增函数.

Answer 1

思路分析：本题主要考查函数的单调性.利用函数单调性的定义证明.

解：设x₁＜x₂≤1,则

f(x₁)-f(x₂)=(-x₁²+mx₁+m)-(-x₂²+mx₂+m)

=m(x₁-x₂)-(x₁²-x₂²)

=(x₁-x₂)(m-x₁-x₂).

∵x₁＜x₂≤1,∴x₁-x₂＜0,x₁+x₂＜2.

又∵m≥2,∴m-x₁-x₂＞0.

∴f(x₁)＜f(x₂).

∴函数f(x)=-x²+mx+m(m≥2)在(-∞,1］上是增函数.

绿色通道：定义法证明函数单调性的步骤：①在所给的区间上任取两个自变量x₁和x₂,通常令x₁＜x₂;②比较f(x₁)和f(x₂)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；③再归纳结论.

定义法证明函数的单调性的步骤可以总结为：一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”,因此简称为：“去比赛”.此法适合于主观题.