Question

求证：函数f(x)=

2

x

-x在区间（0，+∞）上单调递减．

Answer 1

分析：利用单调性的定义来证明函数是一个单调函数，先设出任意两个正数变量，表明它们的大小关系，对两个变量对应的函数值做差，合并同类项，通分整理，最终形式是变化为因式的积或商的形式，这样就可以根据条件判断差和零的关系，得到结论．

解答：证明：任取0＜x₁＜x₂，
有f(x1)-f(x2)=

2

x1

-x1-(

2

x2

-x2)=(

2

x1

-

2

x2

)-(x1-x2)=

2(x2-x1)

x1x2

-(x1-x2)=(x2-x1)•(

2

x1x2

+1)
因为0＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，

2

x1x2

+1＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0
所以，函数f(x)=

2

x

-x在区间（0，+∞）上单调递减．

点评：本题考查函数单调性的证明，考查对于代数式的整理，是一个基础题，这种题目经常考到，可以作为一个解答题目的一问出现，这种题目的证法一般只有两种，一是用定义，二是用导数．