Question

（1）求证：函数f(x)=

x+3

x+1

在区间（-1，+∞）上是单调减函数；
（2）写出函数f(x)=

x+1

x+3

的单调区间；
（3）讨论函数f(x)=

x+a

x+2

在区间（-2，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）任取x₁＞x₂＞-1，再对两个函数值作差，通分后进行整理化简，再根据两个自变量的关系判断符号，然后再定号和下结论；
（2）用分离常数法对解析式进行变形，求出函数的定义域后，再求出函数的单调区间；
（3）用分离常数法对解析式进行变形，分a＞2、a=2和a＜2三种情况，判断在区间上的单调性．

解答：（1）证明：任取x₁＞x₂＞-1，则f（x₁）-f（x₂）=

x1+3

x1+1

-

x2+3

x2+1

=

(x1+3)(x2+1)-(x2+3)(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

∵x₁＞x₂＞-1，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0；x₂-x₁＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f(x)=

x+3

x+1

在区间（-1，+∞）上是单调减函数．
解：（2）f(x)=

x+1

x+3

=1-

2

x+3

，
∴函数的定义域是（-∞，-3）∪（-3，+∞），
则函数的单调增区间（-∞，-3），（-3，+∞）．
（3）f(x)=

x+a

x+2

=1+

a-2

x+2

，
当a＞2时，此函数在区间（-2，+∞）上单调递减，
当a=2时，无单调性；当a＜2时，此函数在区间（-2，+∞）上单调递增．

点评：本题的考点是函数单调性判断及证明，考查了用定义法证明单调性的步骤：取值-作差-变形-判断符号-下结论，判断分式函数的单调性时常用分离常数法对解析式变形，求出定义域后再判断函数的单调性．