Question

7．已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），则不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）≤$\frac{1}{f（lo{g}_{\frac{1}{2}}x+1）}$的解集为[4，+∞）．

Answer 1

分析 可令x=1，y=0，代入f（x+y）=f（x）•f（y）计算可得f（0）=1，由x＞0时，f（x）＞1，可得x＜0时，0＜f（x）＜1，再由单调性的定义，判断f（x）在R上递增，原不等式即为f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1）≤1，运用条件可得2log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1≤0，运用对数函数的单调性，解不等式可得解集．

解答 解：令x=1，y=0，代入f（x+y）=f（x）•f（y）中得：
f（1）=f（1）•f（0），
由1＞0，可得f（1）＞1，
可得f（0）=1，
当x＜0时，-x＞0，得f（-x）＞1，
令y=-x，则x+y=0，代入f（x+y）=f（x）•f（y）中得，
f（x）•f（-x）=f（0）=1，
即有0＜f（x）=$\frac{1}{f（-x）}$＜1
设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0且f（x₂-x₁）＞1，f（x₁）＞0，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）
=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]，
由x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＞1，
即f（x₂-x₁）-1＞0，
则有f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
可得f（x）在R上单调递增．
f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）≤$\frac{1}{f（lo{g}_{\frac{1}{2}}x+1）}$即为f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1）≤1，
由f（0）=1，f（x）f（y）=f（x+y），可得，
f（2log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1）≤f（0），即为2log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1≤0，
即有log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤-$\frac{1}{2}$，解得x≥4．
故答案为：[4，+∞）．

点评 本题考查抽象函数的运用，注意运用赋值法和函数的单调性的判断及运用，考查对数函数的单调性及运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．