Question

11．解下列方程：
（1）8${\;}^{x-1}={2}^{{x}^{2}-1}$；
（2）4•9${\;}^{\frac{1}{x}}$-5•6${\;}^{\frac{1}{x}}$=9•4${\;}^{\frac{1}{x}}$；
（3）5${\;}^{x+3}+{3}^{{x}^{2}+1}=2•{5}^{x+2}+8•{3}^{{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）原方程化为：${2}^{3（x-1）}={2}^{{x}^{2}-1}$，可得x²-1=3x-3，解出即可．
（2）原方程化为：$9[（\frac{2}{3}）^{\frac{1}{x}}]^{2}$+$5×（\frac{2}{3}）^{\frac{1}{x}}$-4=0，解得$（\frac{2}{3}）^{\frac{1}{x}}$=$（\frac{2}{3}）^{2}$，可得$\frac{1}{x}$=2，解得x并且检验即可得出．
（3）原方程化为：$125×{5}^{x}+3×{3}^{{x}^{2}}$=50×5^x+$8×{3}^{{x}^{2}}$，化为$（\frac{3}{5}）^{x}$=25，解出即可．

解答 解：（1）原方程化为：${2}^{3（x-1）}={2}^{{x}^{2}-1}$，∴x²-1=3x-3，化为x-3x+2=0，解得x=1，2，∴原方程的解为：x=1，2．
（2）原方程化为：$9[（\frac{2}{3}）^{\frac{1}{x}}]^{2}$+$5×（\frac{2}{3}）^{\frac{1}{x}}$-4=0，解得$（\frac{2}{3}）^{\frac{1}{x}}$=$（\frac{2}{3}）^{2}$，∴$\frac{1}{x}$=2，解得x=$\frac{1}{2}$，
经过检验满足原方程，
∴原方程的解为：x=$\frac{1}{2}$．
（3）原方程化为：$125×{5}^{x}+3×{3}^{{x}^{2}}$=50×5^x+$8×{3}^{{x}^{2}}$，
化为$（\frac{3}{5}）^{x}$=25，
∴x=$lo{g}_{\frac{3}{5}}25$．
原方程的解为：x=$lo{g}_{\frac{3}{5}}25$．

点评 本题考查了指数与对数的运算性质及其方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．