Question

求函数y=

2-sinx

2-cosx

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：法一：去分母，原式化为sinx-ycosx=2-2y，即sin（x-φ）=

2-2y

1+y2

，利用三角函数的有界性即可求解；
法二：令x₁=cosx，y₁=sinx，有x₁²+y₁²=1．它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可．

解答：解：法一：去分母，原式化为
sinx-ycosx=2-2y，
即sin（x-φ）=

2-2y

1+y2

．
故

|2-2y|

1+y2

≤1，解得

4- 7

3

≤y≤

4+ 7

3

．
∴y_max=

4+ 7

3

，y_min=

4- 7

3

．
法二：令x₁=cosx，y₁=sinx，有x₁²+y₁²=1．它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可．由

|2-2k|

1+k2

=1，得k=

4± 7

3

．
∴y_max=

4+ 7

3

，y_min=

4- 7

3

．

点评：本题考查了函数的值域，难度一般，关键是掌握数形结合的思想，数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此读者要有足够的重视．