题目内容

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，G为△ABC的重心，且满足
AB
•
CG
=
BC
•
AG
．
（1）证明：a2，b2，c2成等差数列；
（2）求函数y=2
3
sin2B+sin(2B+
π
3
)的最大值．
分析：（1）由已知得
1
3
(
CB
-
CA
)•(
CB
+
CA
)=
1
3
(
AC
-
AB
)•(
AC
+
AB
)，由此能够证明a2，b2，c2成等差数列．
（2）由2b2=a2+c2，得cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
1
2
(a2+c2)
2ac
≥
1
2
，由此能求出函数y=2
3
sin2B+sin(2B+
π
3
)的最大值．
解答：解：（1）证明：由已知得
1
3
(
CB
-
CA
)•(
CB
+
CA
)=
1
3
(
AC
-
AB
)•(
AC
+
AB
)--（7分）；
即a2，b2，c2成等差数列；--（8分）；
（2）、由（1）得2b2=a2+c2，
∴cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
1
2
(a2+c2)
2ac
≥
1
2

∴0＜B≤
π
3
，--（12分）；
又因为y=
3
-
3
cos2B+
1
2
sin2B+
3
2
cos2B=sin(2B-
π
3
)+
3

∴当B=
π
3
，y的最大值为
3
2
3
．--（16分）．
点评：本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，acosB+bcosA=csin（A-B），且a2+b2-
3
ab=c2，求角A的大小．
已知△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若ac=5，且
BA
•
BC
=
5
．
（1）求△ABC的面积大小及tanB的值；
（2）若函数f(x)=
2cos2
x
2
+2sin
x
2
cos
x
2
-1
cos(
π
4
+x)
，求f（B）的值．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中：①在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两解，则x取值范围是2＜x＜2
2
；②在△ABC中，若b=8，c=5，A=60°，则△ABC的外接圆半径等于
14
3
3
；③在△ABC中，若c=5，
cosA
cosB
=
b
a
=
4
3
，则△ABC的内切圆的半径为2；④在△ABC中，若AB=4，AC=7，BC=9，则BC边的中线AD=
7
2
；⑤设三角形ABC的BC边上的高AD=BC，a、b、c分别表示角A、B、C对应的三边，则
b
c
+
c
b
的取值范围是[2，
5
]．其中正确说法的序号是
①④⑤
①④⑤
（注：把你认为是正确的序号都填上）．
已知△ABC的内角A，B，C成等差数列，则cos2A+cos2C的取值范围是
[
1
2
，
3
2
]
[
1
2
，
3
2
]
．
（2013•江门一模）已知△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2-c2=6且C=60°，则△ABC的面积S=
3
2
3
2
．

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