题目内容
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC．
（1）证明：a2，b2，c2成等差数列且0＜B≤
| π |
| 3 |
（2）求函数y=2
| 3 |
| π |
| 3 |
分析：（1）将2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC中的正切化正弦，可得 2sinAsinCcosB=sin2B，利用正弦定理和余弦定理可得a2+c2=2b2，cosB=
=
，再利用基本不等式可证0＜B≤
；
（2）利用降幂公式与辅助角公式将y=2
sin2B+sin(2B+
)化为y=sin(2B-
)+
，再由0＜B≤
得-
＜2B-
≤
，其最大值可求．
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+c2 |
| 4ac |
| π |
| 3 |
（2）利用降幂公式与辅助角公式将y=2
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）∵2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC．
∴2
=
(
+
)=
∴2sinAsinCcosB=sin2B∴2accosB=b2，
∴a2+c2-b2=b2∴a2+c2=2b2
∴a2，b2，c2成等差数列
由余弦定理得：cosB=
=
．
因为a2+c2≥2ac，∴cosB≥
．
由0＜B＜π，得0＜B≤
（2）y=2
+sin2Bcos
+cos2Bsin
=
sin2B-
cos2B+
=sin(2B-
)+
∵0＜B≤
∴-
＜2B-
≤
，
∴-
＜sin(2B-
)≤
，
∴y∈(
，
]，
∴ymax=
∴2
| sinAsinC |
| cosAcosC |
| sinB |
| cosB |
| sinA |
| cosA |
| sinC |
| cosC |
| sinB |
| cosB |
| sin(A+C) |
| cosAcosC |
∴2sinAsinCcosB=sin2B∴2accosB=b2，
∴a2+c2-b2=b2∴a2+c2=2b2
∴a2，b2，c2成等差数列
由余弦定理得：cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+c2 |
| 4ac |
因为a2+c2≥2ac，∴cosB≥
| 1 |
| 2 |
由0＜B＜π，得0＜B≤
| π |
| 3 |
（2）y=2
| 3 |
| 1-cos2B |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
∵0＜B≤
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴-
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴y∈(
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
∴ymax=
3
| ||
| 2 |
点评：本题考查数列与三角函数的综合，重点考查正、余弦定理、等差数列的概念及正弦函数的性质，解决的关键是掌握好上述内容，并灵活运用之，属于难题．
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