题目内容

设F1，F2是双曲线x2-4y2=4a（a＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足
PF1
•
PF2
=0，|
PF1
|•|
PF2
|=2，则a的值为（　　）
分析：由数量积的意义结合勾股定理可得（PF1-PF2）2+2PF1•PF2=20a，代入已知可得关于a的方程，解之可得．
解答：解：由题意可得∠F1PF2为直角，△PF1F2为直角三角形，
又双曲线的方程可化为
x2
4a
-
y2
a
=1，
故PF12+PF22=4c2=20a，
变形可得（PF1-PF2）2+2PF1•PF2=20a，
由双曲线定义得（2×2
a
）2+4=20a，
即a2=1，解得a=1，
故选C
点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的定义和完全平方公式的变形，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
设F1，F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，若
PF1
•
PF2
=0 且|
PF1
||
PF2
|=2ac（c=
a2+b2
），则双曲线的离心率为（　　）
A、
1+
5
2
B、
1+
3
2
C、2
D、
1+
2
2
（2010•宝山区模拟）双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上一点(2，
3
)到左，右两焦点距离的差为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F1，F2是双曲线的左右焦点，P是双曲线上的点，若|PF1|+|PF2|=6，求△PF1F2的面积；
（3）过（-2，0）作直线l交双曲线C于A，B两点，若
OP
=
OA
+
OB
，是否存在这样的直线l，使OAPB为矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．
设F1、F2是双曲线x2-
y224
=1的两个焦点，是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于
24
24
．
（2013•许昌三模）设F1，F2是双曲线
x2
3
-y2=1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，
PF1
•
PF2
的值为（　　）
设F1、F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O为坐标原点），且tan∠PF2F1=2，则双曲线的离心率为（　　）

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