题目内容
设F1、F2是双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
+
)•
=0（O为坐标原点），且tan∠PF2F1=2，则双曲线的离心率为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| OP |
| OF2 |
| F2P |
分析：利用向量知识，确定△OPF2是等腰三角形，进而判断△PF1F2是直角三角形，PF1⊥PF2，利用tan∠PF2F1=2，确定几何量之间的关系，即可求得双曲线的离心率．
解答：解：由已知，∵(
+
)•
=0，
∴|0P|=|OF2|，
∴△OPF2是等腰三角形
连接PF1，则OP=
|F1F2|，
∴△PF1F2是直角三角形，PF1⊥PF2，
设|PF2|=x，∵tan∠PF2F1=2，
∴|PF1|=2x，
∴|F1F2|=
x=2c，
由双曲线定义，|PF1|-|PF2|=x=2a
∴双曲线的离心率为
=
=
=
故选D．
| OP |
| OF2 |
| F2P |
∴|0P|=|OF2|，
∴△OPF2是等腰三角形
连接PF1，则OP=
| 1 |
| 2 |
∴△PF1F2是直角三角形，PF1⊥PF2，
设|PF2|=x，∵tan∠PF2F1=2，
∴|PF1|=2x，
∴|F1F2|=
| 5 |
由双曲线定义，|PF1|-|PF2|=x=2a
∴双曲线的离心率为
| c |
| a |
| 2c |
| 2a |
| ||
| x |
| 5 |
故选D．
点评：本题考查向量知识的运用，考查双曲线的定义与几何性质，确定几何量之间的关系是关键，属于中档题．
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