Question

求下列函数的值域
（1）y=

x2-2x-8

；   
（2）y=

x2+2x+3

x

，x∈[

1

2

，2]．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）被开方数是个二次函数，所以先求二次函数的值域，并要求被开方数x²-2x-8≥0，这样即可求得该函数的值域；
（2）先求y′，并能判断y′在[

1

2

，2]上的符号情况，并判断出该函数在该区间上存在极小值，再求出端点值即可得到该函数的值域．

解答： 解：（1）函数x²-2x-8的值域是：[-9，+∞），∵x²-2x-8≥0，∴函数y=

x2-2x-8

的值域是[0，+∞）；
（2）y′=

x2-3

x2

，∴x∈[

1

2

，

3

]时，y′＜0；x∈[

3

，2]时，y′＞0；
∴x=

3

时，函数y取极小值2

3

+2，即最小值，又x=

1

2

，和2时，函数值分别为：

17

2

，

11

2

；
∴原函数的值域为[2

3

+2，

17

2

]．

点评：考查二次函数的值域，y=

x

的值域，通过求函数的导数，找函数的极值，并求出端点值的求值域的方法．