题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(I)求的单调区间;
(Ⅱ)若R上有两个不同的零点
,且
,求实数a的取值范围.
【答案】(I)见解析(Ⅱ).
【解析】
(I)求导得,讨论
和
即可解得单调区间;
(Ⅱ)要使得R上有两个不同的零点
,且
,由(I)可知
取得极小值,极小值小于0,可解得
.借助引理1:
;引理2:
证明
存在
,使
.
,使
.即证得
符合题意.
(I).
当时,
,
在R上单调递减;
当时,由
解得
,
当时,
,
当时,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
综上,时,
在R上单调递减;
时
在
上单调递减,在
上单调递增.
(Ⅱ)引理1:.
证明:令,
则,
,
在
上单调递增,又
,
.
在
上单调递增,
又,
.
引理2:.
证明:.
令,
则,
在
上单调递减.
,故得证.
下求实数的取值范围.由(1)知要使
有两个零点,
,
此时,.
令,解得
.
又,
,使
.
由引理1和引理2知:
,
.
使
.
,使
.
综上:.
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