题目内容
【题目】已知函数,其中.
(I)求的单调区间;
(Ⅱ)若R上有两个不同的零点,且,求实数a的取值范围.
【答案】(I)见解析(Ⅱ).
【解析】
(I)求导得,讨论和即可解得单调区间;
(Ⅱ)要使得R上有两个不同的零点,且,由(I)可知取得极小值,极小值小于0,可解得.借助引理1:;引理2:证明存在,使.,使.即证得符合题意.
(I).
当时,,在R上单调递减;
当时,由解得,
当时,,
当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
综上,时,在R上单调递减;
时在上单调递减,在上单调递增.
(Ⅱ)引理1:.
证明:令,
则,,
在上单调递增,又,
.在上单调递增,
又,.
引理2:.
证明:.
令,
则,在上单调递减.
,故得证.
下求实数的取值范围.由(1)知要使有两个零点,,
此时,.
令,解得.
又,,使.
由引理1和引理2知:
,.
使
.
,使.
综上:.
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