Question

【题目】某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图），上面为花篮，支架由三根细钢管组成，考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①三根细钢管长均为1米（粗细忽略不计），且与地面所成的角均为；②架面与架底平行，且架面三角形与架底三角形均为等边三角形；③三根细钢管相交处的节点分三根细钢管上、下两段之比均为.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”.

（1）当时，求“支架高度”；

（2）求“支架需要空间”的最大值.

Answer 1

【答案】（1）米.（2）立方米.

【解析】

（1）根据题意与地面所成的角为，米，从而.

（2）过作平面，垂足为，且，表示出，进而，，令，利用导数即可求解.

解：（1）因为架面与架底平行，且与地面所成的角为，米，

所以“支架高度”（米）.

（2）过作平面，垂足为.

又平面，所以，

又与地面所成的角为，所以，

同理，

所以为等边三角形外心，也为其重心，

所以，

，

记“支架需要空间”为，则，.

令，则.

所以，.

又，

则当时，，单调递增；当时，，单调递减.

所以当时，（立方米）.

答：（1）当时，“支架高度”为米；

（2）“支架需要空间”的最大值为立方米.