题目内容
如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=20米，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值
称为“规划合理度”．（1）试用θ表示S1和S2．
（2）当θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．
【答案】分析：（1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=20列出方程求出x，算出S2；
（2）由比值
称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．
解答：解：（1）如图，在Rt△ABC中，AC=20sinθ，AB=20cosθ，
=100sin2θ，
设正方形的边长为x则
，
∴
，
∴
=
，
；
（2）t=sin2θ而S2=
∴
，
∵0＜θ＜
，又0＜2θ＜π，∴0＜t≤1∴
为减函数
当t=1时
取得最小值为
此时
．
点评：考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力．
（2）由比值
称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．解答：解：（1）如图，在Rt△ABC中，AC=20sinθ，AB=20cosθ，
=100sin2θ，设正方形的边长为x则
，∴
，∴
=
，
；（2）t=sin2θ而S2=
∴
，∵0＜θ＜
，又0＜2θ＜π，∴0＜t≤1∴
为减函数当t=1时
取得最小值为
此时
．点评：考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力．
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（2007•杨浦区二模）如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值