Question

设双曲线xy=1的两支为C1，C2，正ΔPQR三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。

Answer 1

 [证明]  假设P，Q，R在同一支上，不妨设在右侧一支C1上，并设P，Q，R三点的坐标分别为且0<x1<x2<x3. 记∠RQP=θ，它是直线QR到PQ的角，由假设知直线QR，PQ的斜率分别为，

由到角公式

所以θ为钝角，与ΔPQR为等边三角形矛盾。所以命题成立。