Question

设双曲线xy=1的两支为C₁，C₂（如图），正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．
（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
（2）设P（-1，-1）在C₂上，Q、R在C₁上，求顶点Q、R的坐标．

Answer 1

分析：（1）设某个正三角形的三个顶点都在同一支上，此三点坐标为P（x1，

1

x1

），O（x2，

1

x2

），R（x3，

1

x3

），则

1

x1

＞

1

x2

＞

1

x3

＞0，由此导出tan∠POR＜0，从而∠POR为钝角，即△POR不可能是正三角形．
（2）P（-1，-1），设O（x2，

1

x2

），点P在直线y=x上，以P为圆心，|PO|为半径作圆，此圆与双曲线第一象限内的另一交点R满足|PO|=|PR|，由圆与双曲线都与y=x对称，知O与R关于y=x对称，且在第一象限内此两条曲线没有其他交点（二曲线的交点个数），于是R（

1

x2

，x₂），由此能够求出顶点Q、R的坐标．

解答：（1）证明：设某个正三角形的三个顶点都在同一支上，
此三点坐标为P（x1，

1

x1

），O（x2，

1

x2

），R（x3，

1

x3

），
则

1

x1

＞

1

x2

＞

1

x3

＞0，
k_PO=

1 x2 - 1 x1

x2-x1

=-

1

x1x2

，k_PR=

1 x3 - 1 x1

x3-x1

=-

1

x2x3

，
tan∠POR=

- 1 x1x2 + 1 x2x3

1+ 1 x1x3x22

＜0，
从而∠POR为钝角，即△POR不可能是正三角形．
所以P、Q、R不能都在双曲线的同一支上．
（2）解：P（-1，-1），设O（x2，

1

x2

），点P在直线y=x上，
以P为圆心，|PO|为半径作圆，
此圆与双曲线第一象限内的另一交点R满足|PO|=|PR|，
由圆与双曲线都与y=x对称，
知O与R关于y=x对称，
且在第一象限内此两条曲线没有其他交点（二曲线的交点个数），
于是R（

1

x2

，x₂），
∴PO与y=x的夹角等于30°，PO所在直线的倾斜角等于75°，
tan75°=

1+ 3 3

1- 3 3

=2+

3

．
PO所在的直线方程为y+1=（2+

3

）（x+1），
代入xy=1，
解得O（2-

3

，2+

3

），于是R（2+

3

，2-

3

）．

点评：本题考查三点不能都在双曲线的同一支上的证明，考查双曲线顶点坐标的求法，难度大，综合性强，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．