Question

如图：等腰梯形ABCD，E为底AB的中点，AD=DC=CB=

1

2

AB=2，沿ED折成四棱锥A-BCDE，使AC=

6

．
（1）证明：平面AED⊥平面BCDE；
（2）求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取ED的中点为O，由已知得⊥OC，AO⊥ED，从而AO⊥面ECD，由此能证明平面AED⊥平面BCDE．
（2）以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AC-B的余弦值．

解答： （1）证明：取ED的中点为O，
由题意可得△AED为等边三角形，
AO=

3

，OC=

3

，
∴AC²=AO²+OC²，AO⊥OC，
又AO⊥ED，ED∩OC=O，AO⊥面ECD，又AO⊆AED，
∴平面AED⊥平面BCDE；…（5分）
（2）如图，以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则E（0，-1，0），A（0，0，

3

），C（

3

，0，0），B（

3

，-2，0），

EA

=(0，1，

3

)，

CA

=(-

3

，0，

3

)，

BC

=(0，2，0)，
设面EAC的法向量为

m

=(x1，y1，z1)，
面BAC的法向量为

n

=(x2，y2，z2)
由

EA • m =0 CA • m =0

，得

y 1+ 3 z1=0 - 3 x1+ 3 z1=0

，∴

x1= 3 y1=-3 z1= 3

，
∴

m

=(

3

，-3，

3

)，
由

BC • n =0 CA • n =0

，得

2y2=0 - 3 x2+ 3 z2=0

，∴

x2= 3 y2=0 z2= 3

，
∴

n

=(

3

，0，

3

)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

10

5

，
∴二面角E-AC-B的余弦值为

10

5

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．