Question

13．如图所示，将直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱折成一个三棱锥C一ADB₁，且使得平面ACD⊥平面B₁CD，记BC=a，AC=b（a，b为变量），则∠B₁CA的最小值为（　　）

• A． 45°
• B． 60°
• C． 75°
• D． 30°

Answer 1

分析 由折叠性质知B₁C=BC=a，B₁D=BD，由平面ACD⊥平面B₁CD可知AD⊥B₁D．且BD=acosB，AD=bcos∠BAC=bsinB，在△AB₁C中使用余弦定理可得cos∠B₁CA=$\frac{1}{2}$sin2B．于是当∠B₁CA取得最小值时，cos∠B₁CA=$\frac{1}{2}$sin2B取得最大值$\frac{1}{2}$，得出答案．

解答 解：∵平面ACD⊥平面B₁CD，平面ACD∩平面B₁CD=CD，AD⊥CD，AD?平面ACD，
∴AD⊥平面B₁CD，∵B₁D?平面B₁CD，
∴AD⊥B₁D．
设BD=x，AD=y，则（x+y）²=a²+b²，
B₁D=BD=x，
∴AB₁=$\sqrt{A{D}^{2}+{B}_{1}{D}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．
∵B₁C=BC=a，
∴cos∠B₁CA=$\frac{{B}_{1}{C}^{2}+A{C}^{2}-A{{B}_{1}}^{2}}{2{B}_{1}C•AC}$=$\frac{xy}{ab}$，
∵x=acosB，y=bcos∠BAC=bsinB，
∴cos∠B₁CA=$\frac{acosB•bsinB}{ab}$=$\frac{1}{2}$sin2B．
∴当B=45°时，cos∠B₁CA取得最大值$\frac{1}{2}$，
∴∠B₁CA的最小值为60°．
故选：B．

点评 本题考查了面面垂直的性质及余弦定理得应用，利用余弦定理得出cos∠B₁CA是本题关键．