题目内容

5．证明函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）递增．

分析 利用函数单调性的定义证明内函数在（0，+∞）上递增，外函数对数函数为增函数，由复合函数的单调性得答案．

解答 证明：令g（x）=x2+1，
设x1，x2为（0，+∞）的任意两个实数，且x1＜x2，
则$g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{2}+1-{{x}_{2}}^{2}-1$=（x1-x2）（x1+x2），
∵x1＞0，x2＞0，且x1＜x2，
∴x1+x2＞0，x1-x2＜0，则（x1-x2）（x1+x2）＜0，
即g（x1）＜g（x2），函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，
又外函数对数函数为增函数，∴函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）递增．

点评 本题考查复合函数的单调性，考查了利用定义法证明函数在某个区间上的单调性，是基础题．

练习册系列答案
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A．m＜0且n＜0B．m＞0且n＜0C．m＜0且n=0D．m＞0且n=0

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