Question

16．已知数列{a_n}的各项为正数，其前n项和S_n=2（a_n-1），设b_n=2-$\frac{n}{5×{2}^{n-1}}$a_n（n∈N）．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，求T的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=2（a_n-1）可知当n≥2时S_n-1=2（a_n-1-1），利用a_n=S_n-S_n-1计算可知a_n=2a_n-1，进而可知数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知a_n=2ⁿ，进而b_n=5-$\frac{2}{5}$n，利用等差数列的求和公式、配方可知T_n=-$\frac{1}{5}$（n-12）²+$\frac{144}{5}$，进而可得结论．

解答 解：（1）∵S_n=2（a_n-1），
∴当n≥2时，S_n-1=2（a_n-1-1），
∴a_n=S_n-S_n-1
=2（a_n-1）-2（a_n-1-1）
=2（a_n-a_n-1），
整理得：a_n=2a_n-1，
又∵S₁=2（a₁-1），即a₁=2，
∴数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ，
∴b_n=2-$\frac{n}{5×{2}^{n-1}}$a_n=2-$\frac{n}{5×{2}^{n-1}}$•2ⁿ=5-$\frac{2}{5}$n，
∴T_n=5n-$\frac{2}{5}$•$\frac{n（n+1）}{2}$=-$\frac{1}{5}$n²+$\frac{24}{5}$n=-$\frac{1}{5}$（n-12）²+$\frac{144}{5}$，
∴当n=12时，取T_n最大值$\frac{144}{5}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．