Question

（2007•湖北模拟）设函数f(x)=

a

•

b

+m+m，

a

=(2，-cosωx)，

b

=(sinωx，-2)（其中ω＞0，m∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为2．
（1）求ω；
（2）若f（x）在区间[8，16]上最大值为3，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由题设知f（x）=2sinωx+2cosωx+m，再由三角函数和（差）公式，得到f（x）=2

2

sin(ωx+

π

4

)+m，由此能求出ω的值．
（2）由（1）知f(x)=2

2

sin(

π

8

x+

π

4

)+m，当x∈[8，16]时，

π

8

x+

π

4

∈[

5

4

π，

9

4

π]，由此利用f（x）在区间[8，16]上最大值为3，能求出m的值．

解答：解：（1）f（x）=2sinωx+2cosωx+m=2

2

sin(ωx+

π

4

)+m
依题意得：2ω+

π

4

=

π

2

∴ω=

π

8

（6分）
（2）由（1）知f(x)=2

2

sin(

π

8

x+

π

4

)+m
又当x∈[8，16]时，

π

8

x+

π

4

∈[

5

4

π，

9

4

π]
从而当x=16时，sin(

π

8

x+

π

4

)=

2

2

即2

2

•

2

2

+m=3
∴m=1（12分）

点评：本题考查平面向量的综合应用，解题时要认真审题，注意三角函数恒等式的灵活运用，合理地进行等价转化．