Question

已知函数，（），函数

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和最大、最小值；

（Ⅱ）求证：对于任意的，总存在，使得是关于的方程的解；并就的取值情况讨论这样的的个数。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为                ……1分

由；由，

所以当时，在上递增，在上递减  ……3分

因为，，，

而，                      ………………4分

所以当时，函数取最小值，………………5分

当时，函数取最大值，………………6分

（Ⅱ）因为，所以，

   令，

从而把问题转化为证明方程在上有解，

并讨论解的个数        ………………7分

   因为,

,………………8分

所以

   ①当时,，所以在上有解，且只有一解……10分

②当时,，但由于，

所以在上有解，且有两解       ……12分

③当时,,所以在上有且只有一解；

当时,,

所以在上也有且只有一解          ……14分

综上所述, 对于任意的，总存在，满足，

且当时，有唯一的适合题意；当时，有两个适合题意。