Question

已知函数f（x）=cos2x+

3

sin2x
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）当 x∈[0，

π

4

]时，求函数f（x）的值域；
（3）若将该函数图象向左平移

π

4

个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的对称中心．

Answer 1

分析：（1）先化简函数的表达式，然后求通过函数y=sinx的单调增区间，再求函数 f（x）=2sin（2x+

π

6

）的单调递增区间．
（2）当 x∈[0，

π

4

]时，求出

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，然后求函数f（x）的值域；
（3）将该函数图象向左平移

π

4

个单位长度，得到函数y=g（x）的图象对应的函数的表达式，利用正弦函数的对称中心求函数y=g（x）的对称中心．

解答：解：（1）函数f（x）=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）令u=2x+

π

6

则函数y=sinu的单调增区间为 [-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z（5分）
由 -

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得：
-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπk∈Z
函数y=2sin（2x+

π

6

）的单调增区间为：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z
（2）当 x∈[0，

π

4

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，2sin（2x+

π

6

）∈[1，2]，
所以函数f（x）的值域[1，2]．
（3）若将该函数图象向左平移

π

4

个单位长度，得到函数y=g（x）=2sin（[2（x+

π

4

）+

π

6

]=2sin（2x+

2π

3

）的图象，
令2x+

2π

3

=kπ．k∈Z  x=-

π

3

 +

kπ

2

  k∈Z．
所以函数y=g（x）的对称中心（-

π

3

+

kπ

2

，0） k∈Z．

点评：本题的考点是复合三角函数的单调性，即利用三角函数的相关公式对解析式进行整理，由正弦函数的单调性和整体思想求解．函数的对称中心的求法，图象的变换注意x的系数．