Question

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜

2

）．
（1）当a为何值时，MN的长最小；
（2）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，易证MNQP是平行四边形，根据MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

，可求出MN的长，利用配方法即可求出MN的最小值；
（2）取MN的中点G，连接AG、BG，根据二面角的平面角的定义可知∠AGB即为二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求出此角的余弦值即可．

解答：解：（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，
依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，∴MN=PQ
∵CM=BN=a，CB=AB=BE=1，∴AC=BF=

2

，CP=BQ=

2

2

a
∴MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

∵0＜a＜

2

，
∴a=

2

2

，即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小为

2

2

；
（2）取MN的中点G，连接AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点
∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即为二面角的平面角α
又AG=BG=

6

4

，所以由余弦定理有cosα=

( 6 4 )2+( 6 4 )2-1

2• 6 4 • 6 4

=-

1

3

∴面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值为-

1

3

．

点评：本题考查空间距离的计算，考查面面角，考查学生的计算能力，属于中档题．