Question

13．已知函数f（x）=|x+1|+|x-4|，x∈R
（1）若函数f（x）为常值函数，求x的取值范围；
（2）若不等式a²-2a＜f（x），对?x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去绝对值，化为分段函数，问题得以解决，
（2）由绝对值不等式的性质可知：f（x）=|x+1|+|x-4|≥|（x+1）-（x-4）|=5，再根据题意得到a²-2a-5＜0，解得即可．

解答 解：（1）依题意得$f（x）=|{x+1}|+|{x-4}|=\left\{{\begin{array}{l}{3-2x，x＜-1}\\{5，-1≤x≤4}\\{2x-3，x＞4}\end{array}}\right.$，
则当-1≤x≤4时，函数f（x）为常值函数．  
（2）由绝对值不等式的性质可知：f（x）=|x+1|+|x-4|≥|（x+1）-（x-4）|=5
则a²-2a＜f（x）_min=5，即有a²-2a-5＜0，
解得：$1-\sqrt{6}＜a＜1+\sqrt{6}$，
故实数a的取值范围为$1-\sqrt{6}＜a＜1+\sqrt{6}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的应用和函数恒成立的问题，属于中档题．