Question

4．若关于x的不等式ax²-4ax-2＞0的解集与集合{x|3＜x＜4}的交集不空，则实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 对a进行分类讨论，求出不等式的解集，再根据，关于x的不等式ax²-4ax-2＞0的解集与集合{x|3＜x＜4}的交集不空，列出满足的条件即可求实数a的取值范围．

解答 解：当a=0，-2＞0不成立，不符合要求；
当a≠0时，关于x的不等式ax²-4ax-2＞0的解集与集合{x|3＜x＜4}的交集不空，
所以对于方程ax²-4ax-2=0的△=16a²+8a≥0，解得a＞0或a≤-$\frac{1}{2}$，
所以方程的根为x=$\frac{2a-\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$或x=$\frac{2a+\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$
当a＞0时，不等式的ax²-4ax-2＞0的解集为{x|x＜$\frac{2a-\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$或x＞$\frac{2a+\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$}，
∴$\frac{2a+\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$＜4，
解得a＜0，（舍去），
当a≤-$\frac{1}{2}$时，不等式的ax²-4ax-2＞0的解集为{x|$\frac{2a-\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$＜x＜$\frac{2a+\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$}，
∵$\frac{2a-\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$＞0，$\frac{2a+\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$＞4，
∴$\frac{2a-\sqrt{4{a}^{2}+2a}}{a}$＞3，
解得a＜-$\frac{2}{3}$，
综上所述a的取值范围为（-∞，-$\frac{2}{3}$）

点评 本题是对二次函数的图象所在位置的考查．其中涉及到对二次项系数的讨论，在做题过程中，只要二次项系数含参数，就要分情况讨论，这也是本题的一个易错点．