Question

已知定点A(a，O)( a >0)，B为x轴负半轴上的动点．以AB为边作菱形ABCD，使其两对角线的交点恰好落在y轴上．

(I)求动点D的轨迹E的方程；

(Ⅱ)过点A作直线l与轨迹E交于P、Q两点，设点R (- a，0)，问当l绕点A转动时，∠PRQ是否可以为钝角?请给出结论，并加以证明．

Answer 1

详见解析

解析:

解法一：(Ⅰ)设D(x，y)，∵A(a，0)，由ABCD为菱形

           且AC、BD的交点在y轴上，

    　　　∴B、C两点坐标为(-x，0)、(-a，y)．

           由AC⊥BD得

·＝（2x，y）·(2a，-y)

＝4ax - y²=0，

即　y² = 4ax.

注意到ABCD为菱形，∴x≠0

故轨迹E的方程为y² = 4ax（x≠0）.

 (Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°．

 证明如下：

(1)当PQ⊥x轴时，P、Q点的坐标为(a，±2a)，又R(一a，0)，

            此时∠PRQ=90°，结论成立；

(2)当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k(x一a)，

  由得　k²x²  - (2ak²+4a)x + k²a² = 0

  　　　　　　记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂ ＝2a+，x₁ x₂=a².

　　　　　　　·＝（x₁+a）（x₂+a）+y₁y₂

                       =（x₁+a）（x₂+a）+k²（x₁- a）（x₂- a）

             =(1+k²) x₁ x₂+(a - ak²)( x₁+x₂)+a²+a²k²

             =(1+k²) a² +(a - ak²)( 2a+)+a²+a²k²=>0

                        

              即<,>为锐角，

              综上(1)、(2)知∠PRQ≤90°成立．

解法二：(Ⅰ)设D(x，y)，由ABCD为菱形且AC、BD的交点在y轴上，

            ∴C点坐标为(-a，y)，∵A(a，0)，由|DA|=|DC|得

            ，

  　　　　　化简得y²=4ax．

  　　　　　注意到ABCD为菱形，∴x≠O，

  　　　　　故轨迹E的方程为y²=4ax(x≠O)．

(Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°

    　　　　证明如下：

　　　　　　设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），同证法一易知，则x₁ x₂=a².又y₁²=4ax₁，y₂²=4ax₂，且｜PR｜²＝x₁+x₂+2a ，因为

　　　　　　｜PR｜²+｜QR｜²-｜PQ｜²＝（x₁+a）²+y₁²+（x₂+a）²+y₂²-( x₁+x₂+2a)²

             =2ax₁+2ax₂-4a²≥2 -4a²=4a-4a²=0

　　　　　　从而　cos∠PRQ=≥0，

即∠PRQ≤90°

解法三：(Ⅰ)因为ABCD为菱形，且AC与BD的交点在y轴上，

            所以点C的横坐标为 -a，

            即点C在直线x = -a上，从而D到C的距离等于D到直线x = -a的距    离．又ABCD为菱形，所以点D到点A的距离与点D到直线x = -a的距离    相等，即轨迹E为抛物线，方程为y²=4ax．

            注意到ABCD为菱形，∴x≠O，

            故轨迹E的方程为y²=4ax(x≠O)．

(Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°

    证明如下：

如图，过P、Q向x轴及准线x = -a引垂线，记垂足为M、N、C、H，

            则|MR|=|PG|=|PA|≥|PM|，所以∠PRM≤45°，

            同理可证∠QRN≤45°，从而∠PRQ≤90°

    解法四：(Ⅰ)同解法一．

            (Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°

            证明如下：

设P（x₁，y₁），则y₁²=4ax₁，tan∠PRM=|k_PR|=||=，

∵x₁+a≥2，∴tan∠PRA≤1，∠QRA≤45°，

同理可证∠QRA≤45°，即∠PRQ≤90°