Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求证：函数的图像关于点对称；

（Ⅱ）当时，求的单调区间.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）当时，的递减区间是，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：当时，.将函数的图象向左平移个单位 的图象,然后证明是奇函数的图象关于原点对称的图象关于点对称；（Ⅱ）求导得，利用导数工具对、和分三种情况进行讨论.

试题解析：

解：（Ⅰ）证明：当时，.

将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像.因为对任意，，且，所以函数是奇函数.所以函数的图像关于原点对称.

所以函数的图像关于点对称.

（Ⅱ）由，得

①当时，.

所以的递减区间是.

②当时，及随的变化情况如下表：

所以的单调递增区间是，单调递减区间是，.

③当时，及随的变化情况如下表：

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，.