Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）若对恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）有极小值为，无极大值；（2）

【解析】

试题分析：（1）时，，令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增.故有极小值为，无极大值；（2）本题转化为在恒成立，令，利用导数并分类讨论，可求得.

试题解析：

（1）时，，令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增. 故有极小值为，无极大值.

（2）解法一：在恒成立，

∵，即在恒成立，

不妨设，，则.

①当时，，故，∴在上单调递增，从而，

∴不成立.

②当时，令，解得：，

若，即，

当时，，在上为增函数，故，不合题意；

若，即，

当时，，在上为减函数，故，符合题意.

综上所述，若对恒成立，则.

解法二：由题，.

令，则

①当时，在时，，从而，∴在上单调递增，

∴，不合题意；

②当时，令，可解得.

（Ⅰ）若，即，在时，，∴，∴在上为减函数，∴，符合题意；

（Ⅱ）若，即，当时，，∴时，

∴在上单调递增，从而时，不合题意.

综上所述，若对恒成立，则.