Question

已知函数f（x）=lg

1-x

1+x

，若函数g（x）=f（x）-x-m在[0，

9

11

]上恒有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：判定f（x）是定义域上的减函数，得g（x）是[0，

9

11

]上的减函数；由题意g（0）•g（

9

11

）＜0，从而求出m的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=lg

1-x

1+x

，
∴

1-x

1+x

＞0，即-1＜x＜1；
又f′（x）=

1+x

1-x

×

1

ln10

×

-(1+x)-(1-x)

(1+x)2

＜0，
∴f（x）是定义域上的减函数；
∴g（x）=f（x）-x-m在[0，

9

11

]上是减函数；
且g（0）=-m，g（

9

11

）=lg

1- 9 11

1+ 9 11

-

9

11

-m=-1-

9

11

-m=-

20

11

-m；
由题意g（0）•g（

9

11

）＜0，
即（-m）•（-

20

11

-m）＜0，
解得-

20

11

＜m＜0；
∴m的取值范围是{m|-

20

11

＜m＜0}．

点评：本题通过函数的单调性与值域，考查了判定函数零点的问题，是中档题．